中学生でも解ける!?東大入試問題 数学①

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今回は、シリーズで扱う中学生でも解ける!?東大入試問題シリーズの第1回目。

現行の指導要領から、正式に『整数の性質』が学校のカリキュラムに取り入れられました。

第1回目のテーマはずばり『整数問題』

東大志望の高校生はもちろん、「東大を受験する生徒が集う高校を志望する中学生』を指導した経験のある方なら一度は目にしたことのあると思われる問題です。


 

ちょっと難しいので、中学生で数学が普通の方、苦手な方は無理をして読まないでください。

意欲的な中学生はぜひチャレンジしてみましょう!

 

問題をご紹介する前に、まずは以下の問題を解いてください。


<練習問題> 自然数nに対してnとn-1は互いに素であることを証明しなさい。

※互いに素(たがいにそ)とは、2つの整数が 1 と −1 以外に公約数を持たない場合の2数の関係のこと。2つの整数の最大公約数が 1 であることと同値である。

三四郎池前にて

n≧3のとき、仮にnとnー1が互いに素でないとすると、

n=ap  ・・・①

かつ

nー1=aq  ・・・②

となる素数aと整数p、qがあることとなる。

①ー②より、1=a(pーq)  ・・・③

③より、1がaで割り切れることになるので、矛盾。

また、n=1および2に対しては明らかなので、

自然数nに対して

nとnー1は互いに素である・・・・証明終


ある命題 P を証明したいときに、

P が偽であると仮定して、そこから矛盾を導くことにより、

P が偽であるという仮定が誤り、つまり P は真であると結論付ける方法を、

背理法(はいりほう)』といい、

難関中高一貫校を除き、多くの高校で1年時に学習します。

日常生活でも、応用できる論法なので知っておくと良いでしょう。


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<本題> 3以上9999以下の奇数aで、a²-aが10000で割り切れるものをすべて求めよ。

東大安田講堂

3以上の連続する自然数をそれぞれ、n、nー1と表す。

仮にnとnー1が互いに素でないとすると、

n=ps  ・・・①

かつ

nー1=pt  ・・・②

となる素数pと整数s、tがあることとなる。

①ー②より、1=p(sーt)  ・・・③

③より、1がpで割り切れることになるので、矛盾。

よって3以上の連続する自然数は常に互いに素であるといえる。

また、3以上9999以下の奇数aという題意より、

a²ーa=a(aー1)が10000=2^4・5^4で割り切れるとすると、

aは5^4で、aー1は2^4で割り切れなければならない。(*1)

よって、

a=5^4・b    ・・・①

aー1=2^4・c   ・・・②

となる自然数b、cが存在する。(*2) 

①、②より、5^4・b    ー2^4・c=1

すなわち、625b ー16c = 1   ・・・③

また、625・1 ー16・39 = 1   ・・・④ (*3) 

③、④より 625(bー1)= 16(cー39)

625と16は互いに素なので、b ー1 = 16dとなる整数dが存在する。(*4)

したがって、①より

a=5^4・(16d+1)= 10000d + 625 (*5)

3以上9999以下の奇数aという題意より、d=0、a=625

このとき、a(aー1)= 625・624 =5^4・2^4・39なので

確かにa²ーaは10000 =2^4・5^4で割り切れる。

よって、

a=625


いかがだったでしょうか。

この問題は、2005年度の【2】(文理共通問題)として出題されたものです。

背理法や互除法を知っている数学が得意な中3生なら、ギリギリ理解できる内容だと思います。

 

東大入試の数学の解答用紙は、真っ白、解答欄もありません

どこに何を書くか、そして、どんな言葉で表現するか熟慮し、解答に行き着くプロセスを正しく記入しなければなりません。単に解を求めるだけでは加点につながりません。

中学生の頃から、しっかりと途中式を書く習慣を身につけましょう!


〜中学生向け補足解説〜

(*1)

(補足:10000を素因数分解すると2^4・5^4。) 

(補足:a>aー1なので、aが大きい方の5^4、aー1が小さい方の2^4で割り切れることになります。)

(*2)

(補足:言い換えると、aは5^4の倍数、aー1は2^4の倍数であると言えます。) 

(*3) 

(補足:③を満たす不定方程式を解く。)

(*4)

(補足:625は16の倍数として表せないならば、のこりの(bー1)が16の倍数として表せることになります。)

(*5)

(補足:b=16d + 1に変形し、①のbに代入し、カッコを外す。)


前回の解答

①arm(腕)-arms(武器)

②water(水)-waters(海、河川)

③good(良いこと)-goods(商品)

④letter(文字)-letters(文学)

⑤interest(興味)-interests(利害)

⑥custom(慣習、しきたり)-customs(関税)

⑦manner(方法)-manners(行儀作法)

上記の問題はこちらをクリッック!